Trong toán học, khái niệm các điểm đối cực được khái quát thành các mặt cầu của bất kỳ chiều nào: hai điểm trên mặt cầu là đối cực nếu chúng đối diện qua tâm; ví dụ: lấy tâm làm gốc, chúng là các điểm có vectơ liên quan v và − v. Trên một vòng tròn, các điểm như vậy cũng được gọi là đối diện qua đường kính. Nói cách khác, mỗi đường thẳng qua tâm giao nhau với hình cầu ở hai điểm, một điểm cho mỗi tia ra khỏi tâm và hai điểm này là đối cực.

Định lý Borsuk-Ulam là kết quả của tô pô đại số xử lý các cặp điểm như vậy. Nó nói rằng bất kỳ hàm liên tục nào từ Sn đến Rn ánh xạ một số cặp điểm đối cực trong Sn đến cùng một điểm trong Rn. Ở đây, Sn biểu thị hình cầu n chiều trong (n + 1) không gian hai chiều (vì vậy hình cầu "thông thường" là S2 và hình tròn là S1).

Bản đồ đối cực A: Sn → Sn, được xác định bởi A (x) = -x, gửi mọi điểm trên quả cầu đến điểm đối cực của nó. Nó đồng luân với hàm đồng nhất id nếu n là số lẻ vcơ sốđộ của nó là(− 1) n +1.

Nếu ta đồng nhất các điểm đối cực (tức là xem chúng như một điểm), ta thu được không gian xạ ảnh (xem thêm không gian Hilbert xạ ảnh, cho ý tưởng này áp dụng trong cơ học lượng tử).